コラッツの予想を証明してみようとしたけど、失敗したときの残り物

はじめに断っておく。
私は、数学科の人間では無い！(｀・∀・´)ｴｯﾍﾝ!!

ラッタ。コラッタ。コラッツ。ラッ(ry

コラッツの問題 - Wikipedia

簡単に書けば、任意の $n > 1$ について

$n$ が偶数なら、 $n \div 2$
$n$ が奇数なら、 $3 n + 1$

という操作を有限回繰り返すと、 $n = 1$ となるという予想。

1年前、これを「操作を数式化し、それのパターンが有限個に収まること」で証明しようと考えた。
結果は失敗した(というか、証明が継続できなくなった)けど、とりあえず、誰かのメモになればいいなと。

操作を数式で表す

まず、今回の証明の根本。操作を数式で表すことについて。
例えば、

操作 $B$ = $n \div 2$
操作 $Q$ = $3 n + 1$

と表すと、

$\begin{eqnarray} Q \ 3 &=& 10 \\ BQ \ 3 &=& 5 \\ QBQ \ 3 &=& 16 \\ BQBQ \ 3 &=& 8 \\ B^2QBQ \ 3 &=& 4 \\ B^3QBQ \ 3 &=& 2 \\ B^4QBQ \ 3 &=& 1 \end{eqnarray}$

という風に操作を表現することができる。また、これで分かる通り、この操作は順番を変えると全く違う値になる。(無効値さえあり得る)

ここで、逆操作を定義してみる。

操作 $A$ = $B^{-1}$ = $n \times 2$
操作 $P$ = $Q^{-1}$ = $(n - 1) \div 3$

すると、

$\begin{eqnarray} B^4QBQ \ 3 &=& 1 \\ PAPA^4 \ 1 &=& 3 \end{eqnarray}$

という、当然の帰結に至る。

これをよく見れば、操作 $A \ (B^{-1})$ と操作 $P \ (Q^{-1})$ のある種のパターンで、1から全ての自然数が回れるのでは無いだろうか？ (そして、それこそがコラッツの予想である！！)

・・・ここまでが序論。

証明の手順

さて、ここからどうやって証明するかという話。
この方法で証明する場合、次の点を(最低限)調べないといけない。

登場パターン

たとえば、 $2^n$ は $A^n$ で表現できる。 (自明)
では、他の数字はどうだろうか？少し列挙すると・・・

$\begin{eqnarray} 2 &:& A \\ 3 &:& PAPA^4 \\ 4 &:& A^2 \\ 5 &:& PA^4 \\ 6 &:& APAPA^4 \\ 7 &:& (心が折れる音) \\ 8 &:& A^3 \\ 9 &:& (心が折れる音) \\ 10 &:& APA^4 \end{eqnarray}$

なんとなーく、パターンっぽい物がある。
このパターンが有限個のルールで示せるのなら、それは 1 から到達できる数字全てを掌握したのと同じ意味になる。

ただし、パターンのルールを見つけるまでは、至らなかった・・・

操作の全網羅性

そして、次に問題となるのは、この操作で「全ての自然数」を網羅することが出来るのだろうか？という点。
逆を言えば、この操作で見つからない数字があると仮定して、背理法で証明してみれば良い。

・・・ところで、この操作の反例 (counter-example)とは何だろうか？

1つ目は、有効な有限操作回数で、同値となる物があるかとうこと。(閉路)
$BQBQ \cdots QB \ x = x$

2つ目は、操作が無限へ行ってしまう物。(発散)
$BQBQ \cdots QB \ x \rightarrow \inf$
この場合、操作の途中で下限値が存在することになる。

3つ目は、分数から操作でしか存在できない物。(欠番)
$BQBQ \cdots QB \ \frac{a}{b} = x$

※ 3つ目が問題になるのは、確か、 $QB \ x$ で分数になった場合、 $B$ または $QB$ の繰り返し操作で自然数に戻ることがあってはならないから、という話だったはず。はて、なんでだっけ？

メモは、ここで終わっている

長々とここまで書いてきて、そもそも、この証明方針で行けるのか？と不安になったのが 1つ。
そして、「パターン」の「ルール」という、メタメタな物を考えて、それっぽい物が見つからなかったのが 1つ。
最後に、やる気を失ったのが 1つ・・・

なぜ、長年証明されていない問題を、やってみようと思ったのだろうか？
たしかに、有力な証明はいくつか出ているけど、それらも検証段階らしいし・・・

どうしてこんなことになったのか、私にはわかりません。
これをあなたが読んだなら、その時私は死んでいるでしょう。
・・・死体があるか、ないかの違いはあるでしょうが。
これを読んだあなた。真相を暴いてください。
それだけが私の望みです。