面積が等しいベン図を書く

親戚に質問されたので。

面積が等しいベン図と聞いて、2つのパターンが思い浮かぶ。

「Aのみ」と「Bのみ」と「AかつB」の面積が等しい (3等分パターン)
「Aのみ+Bのみ」と「AかつB」の面積が等しい (2等分パターン)

これを作図すると、次のようになる。

パターン1 : 3等分パターン

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パターン2 : 2等分パターン

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導出

面積の 1/4 を計算してから、全体面積を求める。

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$\begin{aligned} \alpha &= \frac{\frac{\pi}{2} - \theta}{2\pi} \pi r^2 = \frac{\pi - 2\theta}{4} r^2 \\ \beta &= \frac{r\sin\theta \cdot r\cos\theta}{2} = \frac{r^2\sin2\theta}{4} \\ r - m &= r\cos\theta \end{aligned}$

これより

$\displaystyle \frac{1}{4}\mathrm{Area}= \frac{\pi r^2}{4} - \frac{\pi - 2\theta}{4} r^2 - \frac{r^2\sin2\theta}{4} = \frac{1}{4} r^2 (2\theta - \sin2\theta)$

ゆえに、全面積は、

$\displaystyle \mathrm{Area}= r^2 (2\theta - \sin2\theta)$

パターン1 : 3等分パターン

$\begin{aligned} \frac{1}{3} \pi r^2 &= r^2 (2\theta - \sin2\theta) \\ \because \theta &\approx 1.15494 \quad (66.17^\circ) \\ m &\approx 0.5960r \end{aligned}$

パターン2 : 2等分パターン

$\begin{aligned} \frac{2}{3} \pi r^2 &= r^2 (2\theta - \sin2\theta) \\ \because \theta &\approx 1.30266 \quad (74.63^\circ) \\ m &\approx 0.7351r \end{aligned}$